Komponenty PC, dvojková soustava, Booleova algebra

Převody čísel mezi pozičními soustavami

Ne vždy máme k dispozici obvyklých 10 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Někdy jenom 2 (tj. 0 a 1), jindy 8 (tj. 23) nebo 16 (tj. 24) nebo dokonce 36 (10 číslic + 26 písmen). Každá číslice v poziční soustavě má svoji

  • jmenovitou hodnotu – hodnota samotné číslice bez ohledu na pozici v čísle
  • pozici – pořadové číslo zprava (...3, 2, 1, 0)
  • váhu – mocnina základu na pozici (...8, 4, 2, 1)
  • hodnotu – součin váhy a jmenovité hodnoty číslice (např. 0 * 8 = 0, 1 * 8 = 8); součet všech těchto hodnot dává hodnotu celého čísla

Při převodech mezi soustavami používáme dva algoritmy (volíme podle toho, ve které soustavě se nám lépe počítá, příp. přepočítáváme přes desítkovou):

  • násobíme jmenovité hodnoty číslic váhami a sečteme součiny: (101)2 = (1*(2*2*1) + 0*(2*1) + 1*(1) = 5)10
  • naopak: postupně dělíme celou hodnotu čísla základem soustavy a sepisujeme zbytky: (5 =
    4 + 1 =
    (2 + 0) * 2 + 1 =
    ((1 * 2) + 0) * 2 + 1)10 =
    (101)2

Jde to ovšem i takhle (z desítkové do dvojkové prvním způsobem):
(107 = 1 * 100 + 0 * 10 + 7)10 = (1 * 1100100 + 0 * 1010 + 111 = 1100100 + 111 = 1101011)2

Přepočty názorně viz tabulka

Úkoly

  • Ukažte dvě vstupní a jedno výstupní zařízení počítače.
  • Ukažte v počítači procesor, paměť RAM, základní desku a zdroj.
  • Převeďte číslo    z desítkové do dvojkové soustavy a ukažte postup výpočtu.
  • Převeďte číslo    z dvojkové do desítkové soustavy a ukažte postup výpočtu.

Pracujte ve dvojicích. Za každý splněný úkol si dejte oba zapsat čárku do hodnocení!

Výroky

Výroky jsou věty buď pravdivé, nebo nepravdivé. Např.:

  • Jedenáct je prvočíslo.
  • Jedna a jedna jsou tři.
  • 3 + 4 = 7
  • Žížala je obratlovec.

Není‑li věta ani pravdivá, ani nepravdivá, není to výrok. Např.:

  • Umyj si ruce.
  • Kolik je hodin?

Potíže jsou s nejednoznačnými větami, které jsou buď nejednoznačné (třeba o krvavém západu), přibližné (hodně, málo), subjektivní (ošklivý / hezký), závislé na okolnostech nebo souvislostech (venku je chladno -- kde venku? komu je chladno?)

Výroky můžeme spojovat výrokovými spojkami (též operacemi nebo funkcemi). Tak vznikají výroky složené. Jejich pravdivost a nepravdivost určujeme pomocí

  • pravdiel (příp. zákonů výrokové logiky)
  • pravdivostních tabulek (nejsou nekonečné, ba ani příliš rozsáhlé)

Viz logika nebo Výroková logika I nebo Propositional Logic.

Na pokusy (právě tak jako na programování umělé inteligence nebo expertních systémů) se hodí jazyk Prolog, zjednodušenu verzi najdete zde.

Úkoly

1. Zadejte program:

prsi.
mrzne.
jeChladno <= prsi.
jeVlhko <= prsi.
jeNaledi <= prsi and mrzne.

Vyzkoušejte dotazy:

  • ? jeVlhko.
  • ? jeNaledi.

Pozn.: každý dotaz se musí vyhodnotit zvlášť, zvláštním spuštěním prologu.

2. Zadejte program:

jeRodic(adam,abel).
jeRodic(adam,kain).
jeRodic(adam,jarmila).
jeRodic(kain,enoch).
jePredek(X,Y) <= jeRodic(X,Y).
jePredek(X,Y) <= jeRodic(X,Z) and jePredek(Z,Y).

Vyzkoušejte dotazy:

  • ? jeRodic(adam,X).
  • ? jePredek(adam,X).

3. Doplňte další tvrzení a pravidla:

  • Adam je muž.
  • Eva je žena.
  • Eva je rodič Abela.
  • Eva je rodič Kaina.
  • Otec osoby X je rodič osoby X a zároveň muž.
  • Matka osoby X je rodič osoby X a zároveň žena.

Vyzkoušejte dotazy:

  • Je Adam otcem Kaina?
  • Je Adam otcem Enocha?
  • Je Eva matkou Abela?

4. Vymyslete pravidlo, které určí, že dvě osoby jsou bratři

jsouBratri(X,Y) <= ...

Vyzkoušejte, zda

  • Kain a Abel jsou bratři
  • Enoch a Adam jsou bratři
  • Kain a Jarmila jsou bratři

Pracujte ve dvojicích. Za každý splněný úkol si dejte oba zapsat čárku do hodnocení!

 

Booleova logika, Booleova algebra

Nápad George Boolea z poloviny 19. století – tenkrát se mu každý smál. Po 100 letech využili jeho nápad konstruktéři prvních počítačů ...a využíváme jej stále (a Booleovi se už neposmíváme).

  • logický součin (konjunkce, "a"): 0·0=0, 0·1=0, 1·0=0, 1·1=1
  • logický součet (disjunkce, "nebo"): 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1
  • negace (doplněk do 1 – z 0 dělá 1 a naopak): 1‑0=1, 1‑1=0

Je celkem 16 logických funkcí 2 argumentů.

x 0101
y 0011  název funkce
f 0000  0
0001  konjunkce
0010  negovaná implikace y → x
0011  y
0100  negovaná implikace x → y
0101  x
0110  xor (nonekvivalence, výlučné nebo)
0111  disjunkce
1000  nor (negovaná disjunkce)
1001  ekvivalence x=y
1010  negace x
1011  implikace x → y
1100  negace y
1101  implikace y → x
1110  nand (negovaná konjunkce)
1111 1

Některé funkce se dají vyjádřit pomocí jiných, např. (a ∨ b) se dá zapsat pomocí konjunkce a negací jako (a' ∧ b')'. Soubor funkcí, pomocí nichž se dají vyjádřit všechny ostatní, se nazývá úplný soubor. V logice se obvykle vystačí se 3 funkcemi: konjunkce, disjunkce a negace. V elektronice stačí jediná, typicky NAND (negovaná konjunkce) – integrovaný obvod Texas Instruments SN7400 z roku 1966 obsahuje 4 nandy a dá se z něj zapojit cokoli (složité logické funkce mnoha proměnných, aritmetické jednotky, paměti... třeba celý počítač). Tato unifikace umožnila vyrábět velké množství velmi laciných součástek pro konstrukci počítačů.

Viz Booleova algebra, Booleova logika nebo tato tabulka.

Úkoly

  • V tabulkovém kalkulátoru vytvořte vzorce na výpočet operací AND, OR a NOT.
  • V tabulkovém kalkulátoru vytvořte vzorec na výpočet operace NAND (negovaná konjunkce).
  • Napište tabulku pravdivostních hodnot operace NAND.
  • Napište tabulku pravdivostních hodnot funkce f(x,y), kterou realizuje schema na obrázku. Co je to za funkci? K čemu může sloužit?

f(x,y)

x y f
0 0 ???
0 1 ???
1 0 ???
1 1 ???

Pracujte ve dvojicích. Za každý splněný úkol si dejte oba zapsat čárku do hodnocení!